足球运动是我们大家喜欢欣赏的一种体育活动. 在比赛过程中, 运动员最关心的是在足 球场上哪些位置射门命中率较高, 哪些位置射门命中率相同的问题. 为了讨论问题,我们先给出三点假设: (1) 将足球看成是一个质点;
(2) 足球运行轨迹与地面平行;
(3) 射门时无对手进行防守.
下图是国际比赛标准的足球场地规格： 长 $110 \mathrm{~m}$, 宽 $90 \mathrm{~m}$, 足球门宽 $7.32 \mathrm{~m}$, 在此仅对一个球门讨论. 由平面几何知识可知, 沿边线总可以找到 一点 $P$, 使得 $\angle A P B$ 为最大. 在队员技术水平一 定情况下, $\angle A P B$ 越大, 在点 $P$ 射门命中率就越 大. 因此, 我们称使得 $\angle A P B$ 最大的点 $P$ 为足球 射门最佳点. 那么在足球场内, 哪些点属于足球射门最佳点呢? 为了研究方便, 我们把足球场划分为三条带形区域 $A B B^{\prime} A^{\prime}, B C C^{\prime} B^{\prime}$, $D A A^{\prime} D^{\prime}$, 如图 $5.7$ 所示. 并以 $A B$ 所在直线为 $y$ 轴, 以 $A B$ 的中垂线为 $x$ 轴建立直角坐标系, 则 $A(0,3,66), B(0,-3,66), C(0,-45), D(0,45)$. 讨论在区域 $D A A^{\prime} D^{\prime}$ 内射门最佳点的轨迹方程. 在区域 $D A A^{\prime} D^{\prime}$ 内任取一点 $P(x, y)$.

(i) 若 $y$ 保持不变, 则动点 $P$ 只能在线段 $E E^{\prime}$ 上移动. 联结 $P A, P B$, 由 $\angle A P B=$ $\angle E P B-\angle E P A$, 有$$ \tan \angle A P B=\tan (\angle E P B-\angle E P A)=\frac{\frac{E B}{x}-\frac{E A}{x}}{1+\frac{E B}{x} \cdot \frac{E A}{x}}=\frac{A B}{x+\frac{E B \cdot E A}{x}} $$ 由于 $y$ 不变, $x$ 与 $\frac{E B \cdot E A}{x}$ 的积为定值, 从而 $$ x+\frac{E B \cdot E A}{x} \geqslant 2 \sqrt{E B \cdot E A} $$ 当且仅当 $x=\frac{E B \cdot E A}{x}$, 即 $x=\sqrt{E B \cdot E A}$ 时取等号. 则 $$ \tan \angle A P B \leqslant \frac{A B}{2 \sqrt{E B \cdot E A}} $$ 又 $\angle A P B<90^{\circ}$, 故当且仅当 $x=\sqrt{E B \cdot E A}$ 时, $\angle A P B$ 取最大值, $P$ 是射门最佳点. 此时 $$ x=\sqrt{(y+3.66)(y-3.66)}, 3.66 \leqslant y \leqslant 45 $$ 于是, 对于区域 $D A A^{\prime} D^{\prime}$ 内每一个确定的 $y$, 都存在相应的 $x=\sqrt{y^2-3.66^2}$, 使得点 $(x$, $y)$ 是射门最佳点. 故方程 $(*)$ 是区域 $D A A^{\prime} D$ 内射门最佳点轨迹方程,整理后得 $$ y^2-x^2=3.66^2, 3.66 \leqslant y \leqslant 45, x \geqslant 0 $$ 这是等轴双曲线的一部分.

同理,区域 $B C C^{\prime} B^{\prime}$ 内射门最佳点轨迹方程为 $$ y^2-x^2=3.66^2,-45 \leqslant y \leqslant-3.66, x \geqslant 0 $$

(ii) 若 $x$ 保持不变, 显然 $P$ 越靠近 $x$ 轴, $\angle A P B$ 越大, 射门命中率越高. 综上所述, 在区域 $D A A^{\prime} D^{\prime}$ 内与边线平行位置射门, 在曲线 $y^2-x^2=3.66^2$ 上较好, 在与 底线平行位置射门, 越居中(靠近 $x$ 轴) 越好. 这就打破了人们习惯上离球门越近射门越好 的错误想法. 比如, 在图 $5.7$ 中, 点 $M$ 与点 $N$ 比较, 较远点 $N$ 处射门较好; 点 $K$ 与点 $H$ 比较, 点 $K$ 射门较好.

再讨论在区域 $A B B^{\prime} A^{\prime}$ 内射门最佳点轨迹方程. 如图, 在区域 $A B B^{\prime} A^{\prime}$ 内任取了一点 $P(x, y)$. (i) 若 $y$ 保持不变, 显然 $P$ 离门越近, $\angle A P B$ 越大, 射门命中率越大. (ii) 若 $x$ 保持不变, 作 $P F \perp A B$ 于 $F$, 则 $\angle A P B=\angle A P F+\angle F P B$, 故 $\tan \angle A P B=\tan (\angle A P F+\angle F P B)=\frac{A F+F B}{x-\frac{A F \cdot F B}{x}}$ 由于 $A F$ 与 $F B$ 的和为定值 $(A F+F B=A B=7.32 \mathrm{~m})$, 从而 即 $$ A F+F B \geqslant 2 \sqrt{A F \cdot F B} $$ 故 $$ A F \cdot F B \leqslant \frac{1}{4}(A F+F B)^2 $$ 当且仅当 $A F=F B$ 时取 " $=$ ".

又 $\angle A P B<90^{\circ}$, 当且仅当 $A F=F B$ 时, $\angle A P B$ 取最大值, 此时, 点 $P$ 在 $x$ 轴上. 可见, 在区域 $A B B^{\prime} A^{\prime}$ 内, 最佳点轨迹方程为 $$ y=0,0 \leqslant x \leqslant 100 $$ 由此可见, 在区域 $A B B^{\prime} A^{\prime}$ 内, 平行于底线位置射门越居中(靠近 $x$ 轴) 命中率越高. 最后,我们讨论足球场上射门等效线. 如图, 在圆弧 $A^{\prime} B^{\prime}$ 上任取一点 $M^{\prime}$, 由圆弧所对圆周角相等知 $\angle A^{\prime} M^{\prime} B^{\prime}$ 为定值, 我们 称之为 $A^{\prime} B^{\prime}$ 为射门等效线, 等效线上每一点称为射门等效点. 依此定义, 以 $x$ 轴上任一点 $Q(k, \theta)$ 为圆心, 以 $Q A$ 长为半径的圆包含在场内的每一段圆 弧均为等效线, 等效曲线方程为 $$ (x-k)^2+y^2=k^2+3.66^2 $$ 其中 $-45 \leqslant y \leqslant 45, x \geqslant 0, k$ 为参数. 显然等效线是层层包含的, 内一层总要比外一层射门效 果要好些. 在以上模型中, 由于三点假设是粗鉦的, 根据没有考虑其间的因素, 因而上述模型也是很粗鉦的.

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